素数トランプにおける最大素数

この記事は素数大富豪アドベントカレンダー２０１８　３日目の記事です。
昨日はもりしーさんの「二連覇への道のり／３５億素数について」でした。

１．素数トランプとは

皆さんは素数トランプというのをご存じでしょうか？
素数トランプとは、歌手のＫＡＮさんが作成したグッズで、このトランプは通常のトランプの数字部分が、１、２、３、５、７、１１、１３、１７、１９、２３、２９、３１、３７と素数で表記されています。
素数トランプではＡは１、Ｊは１１、Ｋは１３と表記されています。
またこれよりさらに数字が大きい、４１、４３、４７、５３、５９、６１、６７、７１、７３、７９、８３、８９、９７からなる素数トランプスペリオールという物もあります。

２．なぜ１があるか

ここで一つ、ある疑問が生じます。
１は素数ではないのに、なぜ素数トランプには１があるのでしょうか？
ＫＡＮさんが１を素数と考えていた、又は１を素数にしたかったのでしょうか。
可能性としてはそれもありえると思いますが、これ以外にも別の理由が考えられ、
それには素数トランプを使った素数大富豪で出せる最大素数を考える必要があります。

３．最大素数
素数トランプを使った素数大富豪で出せる最大素数は、いったい何枚になるのでしょうか。
５４枚では相手が上がってしまっていることになるので、山札なし・相手が１枚・自分が５３枚の状況で出せる、５３枚が最大枚数になります。
この５３枚を並び替えてできる１番大きい素数が、素数トランプを使った素数大富豪で出せる最大素数になります。
では５３枚を並び替えて１番大きい素数はどうやって求めれば良いでしょうか。
普通はこういった問題はプログラムを作って探索するのでしょうが、私にはプログラムのスキルがないため次の方法を用いることにします。

大きい数からひたすら素数判定

５３枚を大きい数順に並べたリストを作成し、素数判定ツールを使って１つずつ素数判定していきます。
探索の結果、下記の数が素数トランプを使った素数大富豪で出せる最大素数であることがわかりました。
なお、ジョーカー２枚は３７としています。

777755553737373737373333313131312929292923232323222219191919171717171311131131113111111

多分これが一番大きいと思います。

なお、数字をカンマで区切るとこのようになります。
7,7,7,7,5,5,5,5,37,37,37,37,37,37,3,3,3,3,31,31,31,31,29,29,29,29,23,23,23,23,2,2,2,2,19,19,19,19,17,17,17,17,13,11,13,1,13,11,13,11,11,1,1

この結果を見るとわかるように、１を１枚除いた５３枚で最大素数が作ることができました。
では次に実際にこの５３枚を出せる状況を考えます。

４．５３枚出せる状況
山札なし・相手が１枚・自分が５３枚あり、手番が自分というのはどういう状況で作り出せるでしょうか。
手順を逆算して考えると、次のようになります。

自分がカードをある程度の枚数持っている状況で、
①相手がカードを１枚残した状態で素数を出す→自分がそれより大きい素数を出す→相手がパスをする
②場が流れる
③自分が素数ではない数を出し、ペナルティで山札を全部引く
④相手がパスをする
⑤自分が５３枚出して上がる

ここで注目すべきポイントは④で、相手の１枚のカードが素数だと相手は上がってしまうため、相手の１枚は素数ではないカードである必要があります。
素数トランプにおいて、１枚で素数ではないカードといえば、唯一「１」のみが素数ではないカードであり、先ほど最大素数を求めた時に除いたカードも「１」で、見事一致しています。

５．つまり・・・？
仮に素数トランプに１がなかったとしたら相手が１枚出しで上がれるため、理論上は最大でも実際には出すことができない素数になっていました。
つまり、ＫＡＮさんは、素数トランプで素数大富豪を遊んだ時に最大素数が出せるよう、あえて素数ではない１を入れた可能性があるのです！　ΩΩΩ＜ナ、ナンダッテー
注）素数トランプが作られた時点では、素数大富豪はまだ考案されていません。

６．おまけ
なお、両方の素数トランプを使って素数大富豪で出せる最大素数は、次の数になります。

なお、ジョーカー４枚は９７としています。
979797979797979789898989838383837979797977777373737371717171676767676161616159595959555553535353474747474343434341414141373737373333313131312929292923232323222219191919171717171313111111113111311

カンマ区切り
97,97,97,97,97,97,97,97,89,89,89,89,83,83,83,83,79,79,79,79,7,7,7,7,73,73,73,73,71,71,71,71,67,67,67,67,61,61,61,61,59,59,59,59,5,5,5,5,53,53,53,53,47,47,47,47,43,43,43,43,41,41,41,41,37,37,37,37,3,3,3,3,31,31,31,31,29,29,29,29,23,23,23,23,2,2,2,2,19,19,19,19,17,17,17,17,13,13,11,11,11,1,13,11,13,1,1

７．おわり
素数トランプを使った素数大富豪は、経験者でも大きい素数をほとんど覚えていないこと、１桁目につけられない偶数カードが少なく初心者にとってやりやすことから、経験者と初心者が混ざって遊ぶのに向いていると思います。
素数トランプは一般に市販されてはいませんが、見つけたら是非買って、素数大富豪で遊んでみてはいかかでしょうか。

明日の素数大富豪アドベントカレンダー２０１８は、るいあさんの「Slackの紹介」です。楽しみですね。